エンベロープの回 で、サイン波は「具のないスープ」だと書きました。音量の輪郭をどれだけ作り込んでも、中身がサイン波のままでは、ピアノらしい鳴り方の系統までしか近づけない。本物の太い響きを出すには倍音たっぷりの波形が要る、という宿題を残したままでした。今回はその宿題の回収です。倍音とは何で、どうすれば「倍音たっぷりの波形」を自分の手で作れるのかを、音の出るデモと一緒に見ていきます。 音の高さが同じでも、音色が違うのはなぜか ピアノの「ラ」とフルートの「ラ」は、同じ高さなのにまるで違う音に聞こえます。マイクで録って波形を見比べると、違いは一目瞭然です。どちらも同じ間隔で同じパターンをくり返しているのに、そのくり返される「波の形」が違うのです。 コンピューターの中では、音は「スピーカーの膜をその瞬間どれだけ押し出すか」を表す数の列として、1秒あたり44100個の速さで流れています。波が1秒に何回くり返すか（周期の細かさ）が音の高さを決め、1回ぶんの波がどんな形をしているかが音色を決めます。上の図の3つは、くり返しの速さがそろっているのでどれも同じ高さの「ラ」ですが、聞こえ方は別物です。サイン波は音叉のような澄んだ音、ノコギリ波は弦や金管のような張りのある音、矩形波は昔のゲーム機のようなピコピコした音がします。 そうなると次の疑問は、この「波の形」をプログラムでどう作るかです。ノコギリの歯のような折れ線を数式で直接書いてもよさそうなものですが、サウンドプログラミングの世界には、もっと見通しのよい考え方があります。それが今回の主役、倍音です。 どんな波も、サイン波の足し算でできている 19世紀フランスの数学者フーリエは、のちの信号処理をまるごと支えることになる事実を見つけました。どんなに複雑な形の波でも、周期的にくり返ってさえいれば、それは必ず「基本のサイン波と、その整数倍の速さのサイン波たち」の足し算に分解できる、というものです（フーリエ級数と呼ばれます）。 音の言葉に翻訳するとこうなります。いちばん低い、音の高さを決めているサイン波を基音と呼び、その2倍、3倍、4倍……の速さで揺れるサイン波たちを倍音と呼びます。ピアノのラも、フルートのラも、分解すればどちらも「220Hzの基音＋440Hzの倍音＋660Hzの倍音＋……」という同じ品目のリストになる。違うのは、それぞれの倍音がどれだけの量で入っているかという配合比だけです。音色の正体は、この配合比なのです。 分解できるということは、逆に組み立てることもできるはずです。ここが今回の核心で、実際にサイン波を1本ずつ足していくと、目の前で波形が「育って」いきます。 レシピは拍子抜けするほど単純で、$n$ 倍の速さの波を $1/n$ の量で、ぜんぶ足すだけ。基音1本ではただのサイン波だったのが、2倍の波を半分の量で足すと波が傾きはじめ、3倍の波を1/3で足すとギザギザの気配が出てきて、8倍まで足せばもう、はっきりノコギリ波の姿になります。足しているのは終始、角のまるいサイン波だけです。それなのに、足せば足すほど鋭い角が立ち上がってくる。初めて見ると、ちょっとした手品のようです。 倍音ごとの量を棒グラフに並べたものが、いわば音色の配合表です。そして配合表を少し書き換えるだけで、できあがる波形はがらりと変わります。 全部の倍音を $1/n$ で混ぜればノコギリ波。偶数番目を抜いて、奇数の倍音だけを $1/n$ で混ぜれば矩形波。ゲーム機のあのピコピコ音は、「偶数の倍音が入っていない」という配合の音だったわけです。このようにサイン波を積み上げて音色を作る方式は加算合成と呼ばれ、シンセサイザーの最も古典的な作り方のひとつです。パイプオルガンは、長さの違うパイプ（それぞれがほぼサイン波を出します）を同時に鳴らして音色を作るので、いわば物理装置による加算合成です。 ついでに自作アプリの話を少しだけ。筆者が個人開発している音感トレーニングアプリ Harmonize でも、オルガン・フルート・尺八といった音色は、まさにこの正弦倍音の重ね（加算合成）で鳴らしています。配合表を楽器ごとに変えているだけ、と言ってしまえるのがこの方式の気持ちよさです。 Harmonize 相対音感と純正律の感覚を鍛える音感トレーニングアプリ 今すぐ無料でダウンロード App StoreGoogle Play 触ってみる ここまでの話を、実際に手で混ぜられるデモを用意しました。スライダー8本がそのまま倍音の配合表です。まず「🌱 1本ずつ足して育てる」を押してみてください。基音だけのサイン波に倍音が1本ずつ加わって、澄んだ「ポー」という音がだんだん張りのあるブラスのような音に変わり、波形にノコギリの歯が立っていきます。さきほどの図が、音付きで動く様子を見られます。 うまく表示されないときは、デモを別タブで開く 。 鳴らしたまま、ノコギリ波と矩形波のプリセットを切り替えてみると、「偶数の倍音を抜く」だけで音の性格が変わるのがわかります。それから、どのスライダーをどう動かしても、音の高さそのものは変わらないことにも注目してください。高さを握っているのはくり返しの速さ、つまり基音の周波数で、倍音の配合は音色だけを受け持っています。むしろ基音のスライダーを0にしてしまっても、耳にはほぼ同じ高さに聞こえ続けるはずです。倍音の並びの「間隔」から、耳が勝手に基音を補ってしまうからで、この不思議は鳴らしていない低音が聞こえる話 として以前に取り上げました。 どう実現するか デモの中身は、レシピをそのまま数式にしたものです。基音の周波数を $f_0$ として、ノコギリ波は $$x(t) = \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} \sin(2\pi n f_0 t)$$ と書けます。$n$ 倍の速さのサイン波を $1/n$ の量で足し合わせる、あの図のとおりの式です（先頭の $2/\pi$ は、全体の高さを $\pm1$ にそろえるための定数です）。矩形波なら、和を奇数の $n$ だけに限って係数を $4/\pi$ にすれば得られます。プログラムにするなら、二重ループが1つあれば足ります。 /* ノコギリ波を倍音の足し算で作る（C風の擬似コード） */ for (i = 0; i < length; i++) { double t = (double)i / fs; /* いまの時刻（秒） */ double v = 0; for (n = 1; n <= 8; n++) /* 倍音を8本 */ v += sin(2.0 * M_PI * n * f0 * t) / n; /* n倍の波を 1/n で足す */ output[i] = (2.0 / M_PI) * v; } ブラウザの Web Audio API なら、サイン波を1本鳴らす部品（OscillatorNode）を8個作って、それぞれの音量を $1/n$ にしてつなぐだけです。足し算はどこにも書いていませんが、複数の音源を同じ出力へつなぐと自動的に混ざる、つまり配線そのものが足し算になっています。 ...

デジタル画像の正体なら、多くの方が知っています。写真を拡大していくと四角いピクセルの並びが現れて、1枚の絵は結局「色を表す数の並び」だった、というあれです。では、音はどうでしょう。スマホから流れる音楽、ゲームの効果音、プログラムで鳴らす「ピー」という音。あれの正体を数で言い切れる人は、画像に比べるとぐっと少なくなります。 答えは画像と同じくらい単純です。スピーカーは、1秒に44100回、「いま膜をどれだけ押し出すか」という数を受け取って、そのとおりに膜を動かしているだけ。音の正体は、この数の列です。 スピーカーの中では、紙やフィルムでできた薄い膜が前後に動いて空気を押したり引いたりしています。この空気の振動が耳に届いたものが音です。そして膜の動きを指示しているのが、図の左上に並んだ数の列。＋の数が来たら押し出し、−の数が来たら引っ込める。指示は1秒に44100回のペースで途切れなく届きます。録音した曲の再生も、プログラムがその場で作る合成音も、最後は必ずこの形になってスピーカーへ渡ります。裏を返せば、この数の列さえ自分で作れれば、どんな音でも鳴らせるということです。 この記事では、その一番小さな実例として、サイン波を数式から作って鳴らすところまでをやります。ここで連載の案内を少しだけ。当ブログでは、楽器の音をプログラムで作る仕組みを音の鳴るデモつきで紹介するシリーズを続けていて、エンベロープ やカープラス・ストロング の回では、今回の「音＝数の列」を毎回さらっと前提にしてきました。今回はその土台を一本で正面から扱います。筆者は個人で音感トレーニングアプリ Harmonize を開発しており、アプリで鳴るピアノもオルガンも、録音ではなく、鳴らすたびにプログラムが計算したこの数の列です。 Harmonize 相対音感と純正律の感覚を鍛える音感トレーニングアプリ 今すぐ無料でダウンロード App StoreGoogle Play なめらかな波も、拡大すると点の列 音の教科書を開くと、まず出てくるのはなめらかな波の絵です。ところがコンピューターの中の音を拡大していくと、画像のピクセルとまったく同じことが起きます。 なめらかに見えていた波は、実は1/44100秒おきに置かれた点の列です。この一粒一粒をサンプルと呼びます。本物の空気の振動は切れ目なく連続していますが、コンピューターはそれを1秒あたり44100回のスナップショットで代表させている、というわけです。この「1秒を何個の数で表すか」をサンプリング周波数と呼び、44100Hz（44.1kHz）はCDが採用して以来の標準的な細かさです。人間に聞こえるいちばん高い音（およそ2万Hz）の揺れを描き取るのに足りるだけの細かさとして選ばれた数字です。なぜその2倍強で足りるのかは面白い話なので、この連載のエイリアシング（ナイキストの壁）の回であらためて取り上げます。さしあたっては「1秒＝44100個の数」とだけ覚えれば十分です。 つまりプログラムで音を出す仕事とは、44100分の1秒ごとに数をひとつ決めて、スピーカーへ送り続けることです。では、その数をどんな式で決めれば「ラの音」が鳴るのでしょうか。 どう実現するか ── 位相をぐるぐる回す 鳴らしたいのは、たとえば440Hzのサイン波だとします。440Hzとは「1秒に440回、押し引きをくり返す」という意味です。ここで、1回のくり返しを円の1周にたとえるのが定石です。円の上を回る点を思い浮かべて、その角度を$\varphi$（ファイ）と書き、位相と呼びます。1周は$2\pi$。1秒に440周してほしくて、数を書き出すチャンスは1秒に44100回あるのですから、1サンプルあたりに進むべき角度は決まっています。 $$\Delta\varphi = \frac{2\pi f}{f_s} \qquad (f = 440,\ f_s = 44100)$$ あとは、1サンプルごとに$\varphi$をこの$\Delta\varphi$だけ進めて、その瞬間の高さ$\sin\varphi$を数として書き出すだけです。 書き出した数を時間順に並べると、それがそのままサイン波の点列になっています。この「回しては書き出す」の小さなループを、サウンドプログラミングではオシレータ（発振器、音の源になる部品）と呼びます。コードにするとこれだけです。 /* サイン波オシレータ（C風の擬似コード） */ double phase = 0.0; double dphi = 2.0 * M_PI * f0 / fs; /* 1サンプルぶんの角度 */ for (n = 0; n < length; n++) { output[n] = amp * sin(phase); /* いまの高さを数として書き出す */ phase += dphi; /* 位相を進める */ if (phase >= 2.0 * M_PI) phase -= 2.0 * M_PI; /* 1周したら戻す（値が育ちすぎないように） */ } ここで、$\sin(2\pi f t)$と時刻$t$から直接計算すればいいのに、なぜわざわざ位相を足し込んでいくのか、と思うかもしれません。両者は同じ波を作りますが、差が出るのは周波数を途中で変えた瞬間です。時刻から直接計算する式で$f$を差し替えると、波の高さがいきなり別の場所へジャンプして「プチッ」という雑音が鳴ります。位相を積み上げる方式なら、$\Delta\varphi$を差し替えても$\varphi$自体は連続なので、波はなめらかにつながったまま音程だけが変わる。実用のシンセサイザーがそろってこの方式なのは、それが理由です。 ...

サウンドプログラミングで音色を変えるとき、いちばん基本になる道具がフィルターです。フィルターは、音を「加工する魔法の箱」ではありません。波形の中から、速く変化する部分を弱めたり、ゆっくり変化する部分を弱めたりする計算です。 この記事では、ローパスとハイパスに絞ります。まずは「ローパスのカットオフ周波数を、デジタルの1サンプルごとの計算へどう変換するのか」をはっきりさせます。 ローパスは波形をならす ローパスフィルターは、低い周波数を通し、高い周波数を落とすフィルターです。言い換えると、波形の急な変化をならします。矩形波やノコギリ波の角が丸くなり、音は明るさを失って、こもった方向へ変わります。 いちばん直感的なローパスは、移動平均です。いまの値だけでなく、少し前の値もまとめて平均します。たとえば4個の値を平均するなら、次のようになります。 $$ y[n] = \frac{x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]}{4} $$ $x[n]$ は入力、$y[n]$ は出力です。$n$ は「何番目の値か」を表す番号です。最後に4で割っているのは、4個の値を足して平均しているからです。3個を平均するなら3で割りますし、8個を平均するなら8で割ります。 この式は、波形の細かいギザギザをならします。細かいギザギザは高い周波数成分なので、高域が落ちます。まずはこれがローパスの出発点です。 実際のサウンドプログラミングでは、次のような形もよく使います。 $$ y[n] = ax[n] + (1-a)y[n-1] $$ これは、いまの入力 $x[n]$ と、ひとつ前の出力 $y[n-1]$ を混ぜる式です。$a$ が大きいほど入力に素早く追従し、$a$ が小さいほど前の出力を強く引きずります。前の値を引きずるほど、急な変化には追いつけません。だから高域が落ちます。 コードにすると、1サンプルごとの処理は次の形です。 let y = 0; function lowpass(x, a) { y = a * x + (1 - a) * y; return y; } ここではまだ、カットオフ周波数をどう計算するかは置いておきます。まず大事なのは、ローパスが「前後の値を混ぜて、急な変化をならす」処理だということです。 ハイパスは低域を引き算で作る ハイパスフィルターは、ローパスの逆です。高い周波数を通し、低い周波数を落とします。低域の濁りを減らす、風切り音や床振動を切る、音を細くする、といった用途で使います。 ハイパスは、ローパスを使うとかなり直感的に書けます。 $$ \mathrm{low}[n] = \mathrm{LPF}(x[n]) $$ $$ \mathrm{high}[n] = x[n] - \mathrm{low}[n] $$ 入力から低い成分を取り出し、それを元の音から引く。すると、残るのは高い成分です。 別の書き方をすると、ハイパスは「ひとつ前の値からどれだけ変わったか」を見る計算でもあります。ゆっくりした変化では差が小さく、急な変化では差が大きくなります。だからハイパスは、ゆっくりした低域を落として、速い変化を残します。直接の式は、ローパスの係数を求めたあとで出します。 デジタルでは時間をサンプル数へ置き換える ここから、ローパスとハイパスをデジタルの計算へ落とします。 コンピューターの中では、音は一定間隔で並んだ数の列です。44.1kHzなら1秒に44100個、48kHzなら1秒に48000個の値が並びます。この「1秒に何個の値を扱うか」がサンプリング周波数です。ここでは $f_s$ と書きます。 1サンプルぶんの時間は、次のようになります。 $$ \Delta t = \frac{1}{f_s} $$ 一方、ローパスやハイパスで指定するカットオフ周波数は、音としての周波数です。ここでは $f_c$ と書きます。$f_c = 1000\text{Hz}$ なら、1秒に1000回振動するあたりを境目として考える、という意味です。 ...

UPDATE しかしていないのに、なぜテーブルは太るのか PostgreSQL を運用していると、「DELETE はほとんどしていないのにテーブルの物理サイズが増え続ける」「夜間バッチで大量 UPDATE が走っているのに、別画面の SELECT は思ったほど待たされない」という現象に出会います。 この不思議は、PostgreSQL の UPDATE を「今ある行の値を書き換える操作」だと思っていると説明しにくくなります。入口で先に図にすると、実際の動きは次のようになります。 PostgreSQL の UPDATE は上書きではなく追記です。新しい行バージョンを追加し、古い行バージョンには「このトランザクションで見えなくなった」という死亡印を付けます。DELETE も物理的にその場で消すのではなく、対象の行バージョンに死亡印を付ける操作です。 この記事では、この一点から実務でよく見る挙動をつなげます。SELECT / UPDATE など SQL の基本操作そのものを確認したい場合は、先に PostgreSQLと向き合うための 現場で使えるデータベース操作・SQLノート を見ておくと、以降の psql ログを追いやすくなります。 行バージョンを見分ける xmin と xmax PostgreSQL は MVCC、つまり Multi-Version Concurrency Control という仕組みで同時実行を制御します。日本語にすると「複数バージョンを使った同時実行制御」です。ひとつの論理的な行に対して、必要に応じて複数の行バージョンを持ち、読み取り側は自分のスナップショットから見えるバージョンだけを読みます。 スナップショットとは、ある時点でどのトランザクションが完了済みで、どのトランザクションがまだ実行中だったかを判断するための見取り図です。どの範囲を一つのスナップショットで通すかは、トランザクション分離レベルという設定で決まります。既定の READ COMMITTED では SQL 文ごとに新しいスナップショットを取り直すため、実行中に別のトランザクションが確定した変更は次の文から見えます。一段上の REPEATABLE READ にすると、トランザクションが最初に読んだ時点のスナップショットが最後まで固定され、同じ SELECT を何度実行しても結果が変わりません。この記事の後半では、この固定が効く様子も実際に見ます。 行バージョンには、通常の id や name のような列とは別に、PostgreSQL が内部的に持つシステム列があります。この記事で見るのは次の 3 つです。 列 役割 xmin その行バージョンを作ったトランザクション ID xmax その行バージョンを削除または更新で見えなくしたトランザクション ID。何もなければ 0 ctid その行バージョンがテーブル内のどこにあるかを示す物理位置 トランザクション ID は、PostgreSQL が書き込みトランザクションを識別するために付ける番号です。記事中では XID とも書きます。xmin は「この XID が作った」、xmax は「この XID が死亡印を付けた」と読むと理解しやすいです。 ...

2つの音を同時に鳴らしたとき、鳴らしたつもりのない低い音がうっすら床から湧いてくるように聞こえることがあります。ギターを歪ませて重音を弾いたとき、あるいは大きなパイプオルガンが地鳴りのような重低音を出すとき。これは気のせいではなく、差音（さおん）と呼ばれるれっきとした現象です。今回は、その「そこに無いはずの低音」がどこから来るのかをたどります。 この連載では、楽器の音をプログラムでどう作るかを紹介しています。差音はどちらかというと音そのものの不思議に近い話ですが、その正体をつかむと、シンセサイザーの変調や歪みが何をしているのかも一段見通しよくなります。 「足し算」だけでは差音は生まれない まず、素朴なところでつまずきがちな点をはっきりさせておきます。2つの音を同時に鳴らすと、空気中では2つの波が足し合わさります。ここまでは間違いありません。ところが、その足し合わさった波の中に、差の高さ（周波数の引き算にあたる音）は含まれていないのです。 足した波を周波数で分解しても、出てくるのは元の2つの高さだけ。近い2つの音なら、音量がゆっくり脈打つ「うなり」は感じられますが、それは音量の揺れであって、低い音そのものではありません。純粋な足し算は、新しい高さの音を一切作らない——これは数式の上でも成り立つ、動かしがたい性質です。 ではなぜ低音が聞こえるのか。カギは、足した波が「まっすぐでないもの」を一度くぐったかどうかにあります。 ここで線形・非線形という言葉を用意します。「線形＝まっすぐ、非線形＝曲がっている」というイメージで大きくは合っているのですが、“何が"曲がっているのかが少しだけ紛らわしいので、上の図で押さえておきます。まず、左の入力——きれいな2つの音を足しただけの波——は、上下段でまったく同じ1つです。片方だけが歪んだ音、ということはありません。違うのは、その同じ波を通す"箱"のほうだけです。箱というのは、音が通り抜ける装置のことで、スピーカーやアンプ、歪みエフェクター、そして私たちの耳がそれにあたります。 中央のグラフは、その箱の性格を1本の線で表したものです。横軸は、ある瞬間に箱へ入ってきた音の大きさ、縦軸は、そのとき箱から出る音の大きさで、時間軸ではありません。入力を2倍にすれば出力もきっちり2倍、というまっすぐな比例なら線形——理想的なアンプや空気がこれに近い——です。頭打ちになるなどして曲がっていれば非線形で、歪みエフェクターや、大きな音での耳がそれにあたります。同じ入力でも、まっすぐな箱を通すのか、曲がった箱を通すのかで、出て来る音がまるで変わる、というのがこの図の要点です。 線形の装置には、決定的な性質があります。入れた音に無い高さは、絶対に出てこない。サイン波を入れればサイン波が出る（大きさや位相は変わっても、高さは変わらない）。だから、いくらきれいに2音を足しても、線形のままでは差音は生まれません。図の上段で、出てくるのが元の2本だけなのはこのためです。 ところが、入れた大きさと出る大きさの関係が曲がっている装置——非線形——を通すと、話がまるで変わります。大きな入力で頭打ちになる、いわゆる歪みがその代表です。足した波をこの曲がった特性にくぐらせると、元には無かった差の高さや、その他の倍音がいっせいに生まれる。図の下段で、いちばん低いところに赤い線（差音）が新しく生えているのがそれです。 なぜ曲がっていると新しい高さが生まれるのか、いちばん簡単な非線形として「二乗する」で考えると腑に落ちます。2つの波 $\sin A + \sin B$ を二乗すると、 $$(\sin A + \sin B)^2 = \sin^2 A + 2\sin A\sin B + \sin^2 B$$ 真ん中に、2つの波の掛け算 $2\sin A\sin B$ が現れます。そしてこの掛け算は、 $$2\sin A\sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$$ と書き直せる。$\cos(A - B)$ がまさに差の高さ、$\cos(A + B)$ が和の高さです。つまり、足した信号を非線形に通すと、その内側に掛け算がこっそり現れ、それが差音を生む。「足すだけでは出ない、足したあと一度歪ませると出る」というのは、こういうことでした。 ここは引っかかりやすいところなので、先に触れておきます。いまの二乗を全部開くと、出てくるのは差音と和音、それに各音の2倍音ばかりで、肝心の元の2音がどこにも見当たりません。純粋に二乗しきる箱を通すと、元の高さは本当に消えてしまうのです。ではなぜ現実には元の音が残るのかというと、本物の歪みは「純粋な二乗」ではないからです。エフェクターや耳の曲がりは、「入ってきた音をそのまま通す部分」と「少しだけ二乗する部分」の足し算になっていて、小さい入力ではほとんどまっすぐ。だから元の2音はそっくり残り、曲げた分から差音がおまけに少しだけ生える。図の下段で $f_1$ と $f_2$ が残ったまま、その脇に差音が加わっているのは、このためです。ちなみに、入力をまるごと掛け算してしまう箱も特殊なエフェクターとして実在し（リングモジュレーター）、こちらは元の音を消して差音と和音だけにするので、あの金属的な機械音になります。 歪ませるほど、はっきり出る この見方は、エフェクターをいじる人の実感とぴたり重なります。きれいな音のときは静かなのに、ディストーションを深くかけて2音を鳴らすと、急に濁ったうねりや低い成分が前に出てくる。あれは気のせいではなく、歪み＝強い非線形が、さきほどの掛け算を激しく起こしているからです。混じり合った音どうしが差や和の高さを次々に作る、この現象は相互変調（intermodulation）と呼ばれ、歪みが深いほど盛大になります。歪んだ音ほど差音がよく出る、という体感は物理的に正しいのです。 逆に、倍音の少ないきれいな音を、まっすぐな装置でそっと鳴らすだけなら、差音はほとんど出ません。 耳そのものが非線形だから、生の耳でも起きる ではきれいな2音を、歪みなしで、ただ大きな音で鳴らしたら差音は聞こえないのかというと、そうとも言い切れません。というのも、私たちの耳自身が非線形な装置だからです。音は外耳から外耳道を通り、鼓膜を震わせ、耳小骨（つち・きぬた・あぶみ）を経て、内耳の蝸牛へ届きます。ここで差音を作っているのは、じつは鼓膜ではありません。大きな音で鼓膜が限界まで揺れて頭打ちになる——歪みエフェクターのクリップのように——と考えたくなりますが、主な発生源はその奥の蝸牛、なかでも音を電気信号に変える外有毛細胞という細胞だと分かっています。この細胞の反応がまっすぐでない（非線形）のです。しかもそれは、大きな音で受動的に頭打ちになるというより、音を小さいうちから増幅する仕組みそのものに備わった圧縮的な曲がりで、それほど大きくない音でも働きます。だから外の空気にきれいな2音しか無くても、蝸牛の中で差音が作られてしまう。 これは古くから知られていて、ヴァイオリン奏者のジュゼッペ・タルティーニは、重音を弾いたときに下の方に聞こえる「第三の音」に18世紀初頭（本人によれば1714年）には気づいており、後に理論書としてまとめました。差音がタルティーニ音とも呼ばれるのはこのためです。ほぼ同じ頃にドイツでも独立に記述したとされ、最初の発見者が誰かには諸説あります。 ...

よく調律された楽器で和音を鳴らしたとき、澄みきって聞こえることもあれば、かすかに「ワウワウ」と音量が揺れて聞こえることもあります。この揺れは気のせいではなく、周波数から計算で求まる、はっきりした物理現象です。今回は、その揺れ——うなり——の正体をたどり、平均律と純正律という二つの調律を、プログラムでどう鳴らし分けるのかを見ていきます。 少しだけこの連載のことを。ここでは楽器の音をプログラムで作る仕組みを紹介しています。筆者は個人で音感トレーニングアプリ Harmonize を作っていて、これはまさに今回の「うなりが消える位置」を耳で探し当てる練習をするアプリです。純正律や平均律が音楽やトレーニングのなかでどんな意味を持つかは Harmonize の Q&A にまとめてあるので、本記事では現象そのものと、その作り方に絞ります。 Harmonize 相対音感と純正律の感覚を鍛える音感トレーニングアプリ 今すぐ無料でダウンロード App StoreGoogle Play うなりには二段階ある まず揺れそのものから。じつは、うなりの起き方には二段階あって、ここを分けておかないと話が混ざります。 ひとつめは、高さのごく近い二つの音のあいだで起きるうなりです。440Hz と 442Hz のように基音（その音のいちばん低い成分）どうしが近いと、二つの波が少しずつズレていき、山と山が重なる瞬間は大きく、山と谷がぶつかる瞬間は小さくなる。これがくり返されて音量が脈打ちます。その速さは二つの周波数の差にちょうど等しく、$442 - 440 = 2$ で1秒に2回。差が縮むほどゆっくりになり、ぴったり同じ高さで消えます。ここで大事なのは、これは倍音がなくても、純粋なサイン波どうしでも起きるということです。 問題はふたつめ、ドとソのように離れた二つの音——和音——のうなりです。ドが 261Hz、ソが 392Hz なら、基音どうしは 130Hz も離れていて、これは「ゆっくりした脈打ち」ではなく、もう別の一つの高さとして聞こえてしまいます。だから基音だけを見るかぎり、和音にうなりは出ません。実際、サイン波でこの5度を鳴らすと、少し外れて感じることはあっても、ワウワウとは揺れないのです。 それでも本物の楽器では、和音にはっきりうなりが出ます。その正体が倍音です。 澄む条件は「倍音がぴたり重なる」 ひとつの楽器の音には、基音のほかに、その2倍・3倍・4倍…の高さの成分がいくつも含まれています。これが倍音です。だから和音を鳴らすと、耳もとには両方の倍音がずらりと並びます。そして、片方の高い倍音と、もう片方の低い倍音が「近いけれど少し違う高さ」で出会うと、そこで——さきほどの近い二音のうなりとまったく同じ理屈で——うなりが生まれます。 上の図は、その重なるはずの二つ——ドの3倍音と、ソの2倍音——を波として重ね、足し合わせたものです。純正律では二つが同じ高さでずっとそろっているので、足しても音量は変わりません。平均律ではソをわずかに低く取るぶん、二つの波が少しずつずれていき、山と山が重なって大きくなる瞬間と、山と谷がぶつかって打ち消し合う瞬間をくり返します。この音量の脈打ちが、うなりの正体です。脈打ちの速さ（毎秒およそ0.9回）は、二つの波の周波数の差にちょうど等しくなります。和音が澄むか濁るかは、この「重なるはずの倍音」がぴたり合うかどうかで決まるわけです。だから、倍音をあまり持たない音（サイン波に近い音）ほど和音のうなりは出にくく、倍音の豊かな楽器ほどはっきり出る。楽器によって濁り方が違うのは、このためです。 では、重なるはずの倍音がぴたり合うのはどんなときか。二つの音の周波数が簡単な整数比のときです。ソをドのちょうど $3/2$ 倍にすると、ドの3倍音（$3 \times$ 基音）とソの2倍音（$2 \times \tfrac{3}{2} \times$ 基音 $= 3 \times$ 基音）が同じ高さになり、うなりが消えます。長3度なら $5/4$、オクターブなら $2/1$。こうして音程を単純な整数比でそろえる決め方が純正律で、うなりが最も少ない、いちばん澄んだ響きです。 一方、ピアノなどが使う平均律は、1オクターブ（周波数がちょうど2倍になる幅）を12の等しい比で割った実用的な妥協です。半音ひとつが $2^{1/12}$（およそ 1.0595）倍で、どの調へ移っても均一に弾ける代わりに、どの音程もわずかに整数比からズレます。平均律の5度は $2^{7/12} \approx 1.4983$ で純正の 1.5 にごく近く、うなりはゆっくり。3度は $2^{4/12} \approx 1.2599$ で純正の 1.25 より上ずっていて、はっきりしたうなりになります。純正律と平均律のこうした使い分けの事情は Q&A のほうに譲ります。 触ってみる 鳴らして聴くのが早いので、デモを用意しました。長3度や完全5度、ドミソの和音を鳴らしたまま、平均律と純正律を切り替えてみてください。平均律ではうなりが出て、純正律にした瞬間に止まって澄む——その違いが、下のスコープの音量の脈打ちとあわせて分かります。 うまく表示されないときは、デモを別タブで開く 。 ...

プログラムで楽器の音を作ろうとすると、道はふたつ思い浮かびます。ひとつは本物をマイクで録って貼りつけるサンプリング。もうひとつは、エンベロープの回 でやったように、波形をいちから組み立てていくやり方です。どちらも「音の形」を外側から与える発想です。 ところが、これとはまるで違う第三の道があります。音の形をこちらから与えるのではなく、弦そのものの振る舞いをプログラムの中で回して、鳴るにまかせる。材料はあきれるほど少なくて、ほんのひと吹きのノイズだけ。それを輪に閉じ込めてぐるぐる回すと、はじいた弦の音が、ちゃんと減衰しながら鳴ります。カープラス・ストロングと呼ばれる、1983年に発表された古くて賢い方法です。 本題の前に、この連載について少しだけ。ここでは楽器の音をプログラムで作る仕組みを、少しずつ紹介しています。筆者は個人で音感トレーニングアプリ Harmonize を作っていて、その中で鳴る楽器の音は、録音の再生ではなく、鳴らすたびにプログラムが計算した合成音です。こうした音づくりの基礎は独学で、古いC言語のサウンドプログラミングの教科書から学びました（参考文献に挙げています）。今回のカープラス・ストロングも、その延長にある小さな一手です。 Harmonize 相対音感と純正律の感覚を鍛える音感トレーニングアプリ 今すぐ無料でダウンロード App StoreGoogle Play 弦をはじくと、何が起きているか 仕組みに入る前に、本物の弦を思い出してみます。ギターでも琴でも、弦をはじくというのは、弦を指でつまんで、でたらめな形にひしゃげさせてから、ぱっと離すことです。離された弦は、そのひしゃげをきっかけに行ったり来たり揺れはじめ、揺れは空気や熱に少しずつエネルギーを奪われて、やがて止まって静かになります。 ここで起きていることは、煎じ詰めるとふたつだけです。ひとつは、最初に一度きりの、でたらめな衝撃が与えられること。もうひとつは、その揺れが時間とともに薄れていくこと。カープラス・ストロングがまねるのは、まさにこのふたつです。でたらめな衝撃はノイズで、薄れていく揺れは、輪の上での平均が受け持ちます。 ノイズを輪に閉じ込めて回す 先に前提をひとつ確かめておきます。コンピューターが音を出すとき、スピーカーへは1秒あたり44100個の数が送られていて、その一つ一つが「その瞬間に膜をどれだけ押し出すか」を表しています。音の正体は、つまるところこの数の列です。サイン波もピアノの音も、毎秒4万個あまりの数の並びにすぎません。ここが分かっていると、これから話す仕組みが素直に飲み込めます。 カープラス・ストロングで用意するのは、その数を何十個か並べた短い列です。ただし端まで来たら先頭へ戻る、輪のようにつながった列を使います。データ構造としてはリングバッファ と呼ばれるもので、位置を指す針がぐるぐる回り、端に来たら先頭へ折り返します。 最初に、この輪の全部のマスをノイズ、つまりでたらめな数で満たします。これが弦をはじいた瞬間のひしゃげにあたります。あとは針を順に進めながら、いま指しているマスの数をそのまま音の1サンプルとして出力し、端まで行ったら先頭に戻ってまた出力していく。ここが肝心なのですが、鳴っているのはこの輪に入っている数そのものです。どこかに別のサイン波があって、それを掛けたり変調したりしているのではありません。輪から順に取り出した数の列が、そっくりそのまま音になります。 では音の高さはどこで決まるのか。輪は端まで行くと先頭へ戻るので、出てくる数の列は、輪の長さぶんの間隔で同じパターンをくり返します。数は1秒に44100個の速さで出ていくので、輪のマスが $L$ 個あれば、1秒あたり $44100 \div L$ 回だけそのパターンがくり返される。このくり返しの回数が、そのまま音の高さ（周波数）です。輪が長ければゆっくりくり返すので低い音、短ければ速くくり返すので高い音。出したい高さ $f_0$ が決まれば、輪の長さを $L = f_s / f_0$ マスにすればよい、というだけの話です。ドとラの違いは、輪を何マスにするか、それだけで決まります。 ただし、もし輪の中身を固定したまま回し続けたら、そのノイズが延々くり返す、ざらついたブザーのような音が同じ高さで鳴りっぱなしになるだけです。カープラス・ストロングが弦の音になるのは、針が通り過ぎるたびにマスの中身を書き換えるからです。数を出力すると同時に、そのマスを「自分と隣の平均」にして、ほんの少し小さくして書き戻す。すると輪の形は、一周ごとに少しずつ変わっていきます。 なぜ平均するだけでノイズが澄んだ音になるのか。隣どうしを平均するという操作は、値が細かく上下している部分ほど強くならします。細かい上下は高い音の成分ですから、平均を通すたびに高い成分が削られていく。これはローパスフィルタ、つまり高い音を通しにくくするフィルタそのものです。はじめのノイズには高い成分から低い成分までひととおり入っていますが、一周ごとに高いほうから消えていき、最後に生き残るのは輪の長さぶんの周期でくり返す成分だけ。それが澄んだ音の高さとして聞こえます。 そして高い成分が先に、低い成分があとに消えるということは、音がはじめは明るく、すぐ丸くなって、やがて消えていくということです。この「高い倍音から先に消える」という振る舞いは、本物の弦や、あとで触れるピアノの音の大事な特徴なのですが、カープラス・ストロングではそれを一つ一つ設計する必要がありません。輪の上で平均するという一手の、いわばおまけとして手に入ってしまいます。 触ってみる 言葉で追うより、鳴らして見たほうが早いので、デモを用意しました。上のドレミを押すと、その音程ぶんの長さの輪にノイズを詰めて鳴らします。真ん中の輪の絵は、いま輪の中に入っている値をそのまま描いたものです。押した直後はギザギザのノイズ、赤い針が一周するたびに角が取れて、波がなめらかな形に整いながら少しずつ縮んで消えていく ── さきほどの三段の図が、リアルタイムで動くのを見られます。 うまく表示されないときは、デモを別タブで開く 。 いちばん下のスペクトログラムを見ると、高いほうの成分から順に暗くなっていくのがわかります。これがさっきの「高い倍音から先に消える」です。それから、明るさのつまみを右いっぱいに回してみてください。一周ごとの平均をほとんどやめてしまうと、音は弦ではなく、金属的な反響のようになります。輪を平均する一手こそが、弦らしさの正体だったわけです。 このとき輪は、平均という味つけを失って、ただの遅延ライン（信号を一定時間ためて送り返す仕掛け）にフィードバックがかかっただけの状態に戻ります。これはギターアンプに載っているスプリングリバーブ ── バネに信号を通し、伝わって返ってくる音を拾う装置 ── とそっくり同じ構造です。あの金属的な「ボヨーン」が顔を出すのは、そのためです。 この素のままの音は、ギターともピアノとも少し違う、板に弦を張っただけのような、どこか金属質な響きに聞こえたかもしれません。実際この音は、昔から琴やハープシコードにたとえられてきました。共鳴する箱（ボディ）をまだ一切持っていない、弦の生の振動だからです。 そこで効いてくるのが、はじきの柔らかさのつまみです。真っ白なノイズをそのまま詰めると、はじいた瞬間に高い成分がびっしり入るので、硬いピックで弾いたような金属的なアタックになります。詰める前にノイズを少しならして角を丸めておくと、やわらかい所を指の腹ではじいたような音になり、金属質が抜けてナイロン弦のような丸みが出てきます。輪を回す仕組みはまったく同じまま、はじき方を変えるだけで、琴とナイロン弦のあいだを行き来できるのです。 どう作るか 仕組みが単純なだけあって、中身もほんの十数行です。輪をノイズで満たし、針を回しながら「出力して、隣と平均して書き戻す」を繰り返す。それだけです。 /* カープラス・ストロング（C風の擬似コード） */ int L = round(fs / f0); /* 輪の長さ＝音程を決める */ float buf[L]; for (i = 0; i < L; i++) buf[i] = noise(); /* ノイズをひと吹き詰める */ int i = 0; for (n = 0; n < length; n++) { output[n] = buf[i]; /* いまの値を出力 */ int j = (i + 1) % L; /* 隣（輪なので端は先頭へ戻る） */ buf[i] = decay * 0.5f * (buf[i] + buf[j]); /* 隣と平均し、少し縮めて書き戻す */ i = j; /* 針をひとつ進める */ } 数式で書けば、いま鳴っている値 $y[n]$ は、輪の長さ $L$ だけ前の値とそのひとつ前の平均、 ...

昨日、「フェイブル5が復活したので布団の中で200ドルプランの解約を相談した話」 という記事を書きました。従量課金になったら桁が合わない、まずは消費ペースを観察しよう、という話でしたね。 で、観察した結果が出ました。早すぎる結果が。 実測値：1日でこうなった フェイブル5が使えるようになったのが7月2日。翌3日の朝8時時点で、私のゲージはこうなっていました。 フェイブル5：79%消費 Opus 4.8：50%消費（昨日リセットされたばかりのはず） 丸1日で8割です。正直に言うと、昨日は「7日までの食べ放題だ」とばかりに、今のうちに頼めることをフェイブル5に頼みまくりました。だから普段より使ったのは確かです。とはいえ、私という人間が1日にこなせる作業量には限りがあるわけで、日常とそこまで大きくは変わらない。それでこの減り方なんだから、フェイブル5はバカ食いする、というイメージは持ちました。 Opusのほうも異常な速さで減っていて、最初は「リセットおかしくない？」と思ったんだけど、これはたぶんカラクリがあります。後述。 使用感のアップデート 昨日は「劇的に良くなった感じはしない」と書きました。1日使い込んだ今の感想は、少しだけ上方修正です。 作業内容としては、だいぶスムーズに動いてくれている感じはします。Opus 4.8よりは、やりとりが少しだけ円滑になった。指示の意図の汲み取りで引っかかる回数が減った、という感覚ですね。 ただ、プログラミングの精度に関しては正直分からない。コードは見るときは見るけれど、その精度までは確認していないし、やりたいことの要望は今まで通り叶っている。今までだって問題なかったので。要望が普通に叶う段階まで環境ができていると、モデルの精度差って体感に出てこないのかもしれない。どうなんでしょうね。 ちなみにAIに叶えてもらっている「やりたいこと」の中身はというと、たとえばこの「タイピングの神様」。フリック入力や文字入力を練習できるアプリです。15年ほど前に作ったんですが、その後は開発のモチベーションが上がらず、長いことレガシーなまま放置していました。それが最近、AIと組むことで蘇りまして、いまは新しいアイデアをあれこれ盛り込みながら手を入れています。 タイピングの神様 フリック入力や文字入力を練習できるタイピング練習アプリ 今すぐ無料でダウンロード App StoreGoogle Play 「Opusまで減ってる」のカラクリ リセット直後のはずのOpus 4.8が1日で50%。最初は不具合を疑ったんですが、仕組みを調べると納得でした。 7月7日までのプロモーション期間中、フェイブル5は週間利用上限の最大50%まで使える。ここがポイントで、これは別枠のボーナスではなく、普段の週間枠の「内数」なんですね。つまりフェイブル5を使えば使うほど、共通の週間ゲージも一緒に削れていく。 フェイブル5はOpusの2倍レートで枠を食う計算になるので、フェイブルに1日振っただけで週間枠が半分吹き飛んだ、と考えるとゲージの減り方と辻褄が合います。異常でも不具合でもなく、仕様でした。 図にするとこういうことです。 タンクは週間枠の1つだけで、ゲージが2本あるように見えるのは分母が違うから。私の場合、フェイブル5で週間枠の約40%を溶かし、Opusでの通常作業が約10%。合計50%が「Opusゲージの50%」で、同じフェイブル分を50%の専用枠を分母にして見ると「フェイブルゲージの79%」になる。2つの数字は、同じ消費の別表示だったわけです。 もし従量課金だったら幾らだったのか 怖いのはここからです。7月8日以降、フェイブル5はこの週間枠から外れて、クレジット（API価格そのまま：入力$10／出力$50 per 100万トークン）でしか使えなくなります。 サブスクからは正確なトークン数が見えないので概算ですが、Max 20xの週間枠まるごとのAPI換算価値は数百ドル規模と言われています。その半分を1日で、しかも単価2倍のフェイブル5で溶かしたとなると、今日と同じ1日を従量課金でやったら数十ドル〜百ドル級は覚悟する必要がありそう。昨日の記事で「海外のヘビーユーザーが1日110ドル溶かした」という報告に触れましたが、あれは他人事じゃなかったですね。 このペースを1か月続けたらどうなるか、サブスクと並べてみるとこうなります。 月200ドルのサブスクなら横一直線のところが、従量課金だと開始2〜4日でその1か月分を突破して、あとは青天井。「桁が合わない」と言われた意味を、グラフにして改めて実感しました。 で、どうするか 昨日の記事では「クレジットを50ドルだけ入れて減り方を観察する」と書きました。が、1日でこの結果を見せられると、正直それすら微妙になってきています。 だって、今日の消費ペースから逆算すると、50ドルなんて下手したら1日分ですよ。1日で7,000円以上。 誤解のないように言っておくと、この値段が高すぎると言いたいわけではないんです。AIは人の何十倍、何百倍と働いてくれるわけで、その成果がそのまま売上につながる人にとっては、1日7,000円なんてむしろ安い投資でしょう。喜んで払う人がいるのも分かる。ただ私の場合、AIで直接儲けているわけではないんですよね。AIが1000倍働いてくれたからといって、私の収益が1000倍になるわけではない。だからこの出費は、投資ではなく純粋な負担としてのしかかってくる。そこの違いなんです。 なので現時点の気持ちとしては、7月8日以降はいったんOpus 4.8中心に戻ることになりそうです。せっかく最強モデルが帰ってきたのに、食べ放題期間が終わったらしばらくお預け。ちょっと寂しくはありますが、提供条件はこの1か月だけでも何度も変わっているので、また気軽に使える日が来るまでの一時的な距離の取り方かなと思っています。 Codexのことを思い出した で、ここで思い出したんですが、私、Codexにも200ドルプランを払ってるんですよね。 以前は100ドルプランだったんだけど、レビューが追いつかなくなって200ドルに上げた。ところが今度は使い切れずに余っている状態。だったらフェイブル5にクレジットを積むより、余っているこっちを活用する方向で進めたほうがいいのかもしれない。 それに今回の一件で思ったのは、Claude Codeにいつまでも頼りきりなのも、それはそれでリスクだなということ。モデルが突然止まったり、課金体系が変わったりするのを目の当たりにしたわけだから、2本立てで回せる体制にしておくのは保険として正しい気がしています。 それにしても月6万円 ClaudeとCodexで200ドル＋200ドル、月400ドル。日本円にして約6万円です。「AIに月6万円も払って、私は一体何をしているんだ」と思う瞬間もなくはない。 ただこれ、感覚としては一番近いのはゲーム課金なんですよね。今、私はAIにハマっている。楽しいから払っている。それだけの話で。 しかもこの熱、いつか絶対飽きると思うんですよ。だから今だけ、今だけね、という言い訳めいた後ろめたさ込みでの6万円です。ソシャゲに月6万溶かす人のことを昔は理解できなかったけど、今なら分かる。あれと同じです。違いがあるとすれば、こっちのガチャは回すたびに仕事が進むところくらいで。 だからこそ、というべきか。ゲーム感覚で6万払っている人間ですら、フェイブル5の従量課金だけは「いやそれは無理」となった、という話でした。 おまけ：AIは通信費なのか、掃除機なのか 最後に、今回の一件でぼんやり考えたことを書き留めておきます。 毎月6万円をAIに払う暮らしをしていて実感するのは、AIがもう「あると便利な道具」を超えて、インフラになり得るレベルまで来ているということです。社会のあちこちでAIが組み込まれて、私たちはその上で成り立っている。ロボットも含めて、AIなしでは回らない社会にどんどんなっていくんでしょう。 個人の側でも、私のようにお金を払って日常のタスクを任せる人は、これからどんどん増えていくはずです。感覚としては、お手伝いさんを雇う贅沢というより、掃除機に近い。掃除機がないと掃除がままならないように、AIがないと日常が回らない。そういう位置づけの道具になりつつあるのを、毎日の実感として感じています。 そこでぼんやり考えるのが、AIは暮らしの中でどの位置に収まるんだろう、ということです。道路は国が作る。通信は道路にかなり似たインフラだけど、国が配ることはなくて、各自が通信費を払って使う。掃除機は完全に家電で、国が配るわけがない。当たり前じゃんという話なんですが、じゃあAIはどれに一番近づいていくのか。通信費のような「みんなが個別に払う準インフラ」なのか、掃除機のような「持ちたい人が買う家電」なのか。私の体感は、日に日に通信費のほうへ寄っていっています。 答えの出る話ではないですが、月6万円の請求と引き換えに、その移り変わりのど真ん中を今まさに歩いているようで、ちょっと面白くもあるのです。 ※ゲージの数値は私の環境（Max 20xプラン）での2026年7月3日朝8時時点の実測です。料金・提供条件の公式情報はAnthropic（anthropic.com / support.claude.com）でご確認ください。 参考リンク 前編：フェイブル5が復活したので、布団の中で200ドルプランの解約を相談した話 Anthropic公式 Claude Fable 5ページ （API価格の一次情報） Claudeサポートセンター （プロモーション条件・使用クレジットの案内）

プログラムで音を鳴らしたことのある方なら、覚えがあるかもしれません。サイン波を作って、440Hz、音量もほどほどに設定して再生する。すると聞こえてくるのは「ピー」という、体温計の電子音のような味気ない音です。周波数は合っている。音量も合っている。それなのに、どうやっても「楽器の音」に聞こえない。 まず足りないのは、波形の複雑さではありません。じつは同じサイン波のまま、あるひとつの要素を変えるだけで、その「ピー」の性格はがらりと変わり、オルガン風、ピアノ風、ストリングス風と、楽器の「らしさ」の方向がはっきり聞き分けられるようになります。変えるのは音量の時間変化、つまり音の鳴りはじめから消えるまでの「輪郭」です。 本題に入る前に、少しだけこの連載のことを。楽器の音そのものをプログラムで作る技術はサウンドプログラミングと呼ばれますが、書籍も事例も昔からとても少ない分野です。筆者は10年以上前、自作の音感トレーニングアプリ Harmonize にピアノやオルガンの音を持たせる必要に迫られて、数少ないC言語の教科書を頼りにソフトシンセを組み上げました。このアプリで鳴る楽器音は録音の再生ではなく、今もすべてプログラムがその場で合成しています。 Harmonize 相対音感と純正律の感覚を鍛える音感トレーニングアプリ 今すぐ無料でダウンロード App StoreGoogle Play そのとき夢中で学んだ仕組みは、いま読み返しても色あせずに面白いので、頭の整理を兼ねて、音の鳴るデモを添えながら少しずつ記事にしていくことにしました。第1回に選んだのは、仕組みの単純さのわりに効果が劇的な、この「輪郭」の話です。 耳は波形より「輪郭」を聴いている 楽器の音をレコーダーで録って波形を眺めると、二つの層が見えます。ひとつは中身の細かい振動。1秒間に数百回も揺れる波そのもので、これが音の高さや音色の成分を担います。もうひとつは、その振動を外側から包む大きなふくらみ、音量の移り変わりです。 上の図は、中身の波をぜんぶ同じサイン波にそろえて、外側の輪郭だけを取り替えたものです。左は鳴らしている間ずっと同じ大きさを保ち、離した瞬間すっと消える。これはオルガンやリコーダーの鳴り方です。真ん中は叩いた瞬間がいちばん大きく、あとはただ減っていく。鍵盤を押さえたままでも音がだんだん消えていく、ピアノの鳴り方です。右はふわっと立ち上がって、指を離してもふわっと余韻が残る。ストリングスやシンセパッドの鳴り方です。 中身が同じでも、この輪郭が違えば、耳は別の系統の音だと聞き分けます。逆もまた然りで、楽器音の録音から立ち上がりの部分を切り落として聴かせると、何の楽器か当てるのが急に難しくなることが古くから知られています。音色というと倍音の配合、つまり波形の中身を思い浮かべますが、楽器の「顔」の第一印象を決めているのは、それと同じくらい、この音量の時間変化なのです。 ただし、正直に言っておくと、輪郭が担うのは音の顔の半分です。もう半分は、やはり波形の中身、倍音の配合が握っています。サイン波は倍音をひとつも持たない、いわば具のないスープのような素朴きわまりない波なので、輪郭をどれだけ作り込んでも「ピアノらしい鳴り方」「ストリングスらしい鳴り方」という性格までしか近づけません。本物のピアノの太い響きや弦楽器のつやを出すには、ノコギリ波のような倍音たっぷりの波形が要ります。このあとのデモでも、どのプリセットも系統ははっきり聞き分けられるのに、本物と呼ぶには物足りないはずです。その物足りなさの正体が倍音で、これはこの連載で回をあらためて取り上げます。今回は「中身が最弱のサイン波ですら、輪郭だけでここまで性格が変わる」という、輪郭の効きの大きさを確かめるのが主題です。 この輪郭のことを、サウンドプログラミングではエンベロープと呼びます。英語で封筒のことで、波を外から包み込む線だからです。冒頭の「ピー」が楽器に聞こえなかった理由も、これで説明がつきます。あの音にはエンベロープがなかった、正確には「スイッチを入れた瞬間に最大、切った瞬間にゼロ」という長方形の輪郭しかなかったのです。長方形の輪郭を持つ楽器は自然界にほぼ存在しないので、耳は機械の音だと判定します。 輪郭を4つの数で描く ── ADSR では、その輪郭をプログラムでどう表すか。世界中のシンセサイザーが採用している定番の型があります。頭文字をとって ADSR と呼ばれる、たった4つの数です。 鍵盤を押すと、音量はゼロから最大まで駆け上がります。この立ち上がりにかける時間がアタック（A）。最大に達したあと、少し落ち着いて巡航高度に降りてくるまでの時間がディケイ（D）。そのまま押し続けている間に保たれる音量がサステイン（S）。そして指を離してから音が消えるまでの余韻の時間がリリース（R）です。 ここでひとつだけ、つまずきやすい点を先に押さえておきます。A・D・R は「時間」ですが、S だけは「高さ」です。サステインは押している間じゅうずっと続くので、何秒という長さを持ちません。持つのは「最大の何割の音量で鳴り続けるか」という水位だけ。ADSR のつまみが4本並んでいるとき、3本は秒数で1本だけパーセントなのは、このためです。 この4つの数で、さきほどの3つの輪郭がそのまま書けます。オルガンはアタックほんの数ミリ秒、サステイン100%。押した瞬間から離す瞬間まで一定で鳴る、ほぼ長方形の輪郭です。ピアノはアタック数ミリ秒、ディケイたっぷり1秒あまり、そしてサステイン0%。押しっぱなしでも行き着く先がゼロなので、音は自然に消えていきます。ストリングスはアタックに数百ミリ秒かけてふわっと入り、サステイン7割ほどで歌い、リリースにもたっぷり時間をとって余韻を残す。輪郭の言葉に翻訳すると、楽器の個性が4つの数字に畳み込まれるのです。 減り方は「まっすぐ」より「割合」が自然 もうひとつ、輪郭の質感を決める隠し味があります。ディケイやリリースで音が減っていくとき、どんなカーブで減るかです。 いちばん素直なのは直線で減らすことですが、これを耳で聴くと、機械がフェーダーを一定速度で下げているような、妙に人工的な感じがします。実際のピアノの弦や鐘の余韻は、毎瞬「いま残っている音量の同じ割合」ずつ減っていきます。最初にぐっと減って、小さくなってからは長々と尾を引く。グラフに描くと上の図の青い線、いわゆる指数カーブです。人間の耳は音量を割合で感じ取る性質があるので、割合で減る音は「一定のペースで静かになっていく」と聞こえて、これが自然に響きます。 冒頭で紹介した Harmonize のソフトシンセも、エンベロープはこの指数カーブで実装しています。さらにピアノ音色では、音量だけでなく音の明るさ（フィルタ）にも同じ形のエンベロープを掛けていて、鳴った瞬間だけ倍音が豊かで、減衰とともにこもっていくという本物のピアノの振る舞いを真似ています。エンベロープは音量専用の道具ではなく、明るさや音程など「時間とともに変わってほしいもの」全般に掛けられる、汎用の輪郭なのです。 プログラムではこう書く では、これを実際にどう実現するのか。仕組みは拍子抜けするほど単純で、1サンプルごとに、波形の値へエンベロープの値を掛けるだけです。44100分の1秒ごとに $\text{出力} = \text{env} \times \sin(\cdot)$ という掛け算を繰り返す。サウンドプログラミングとしての本体は、この $\text{env}$ という変数（0〜1）を時間とともにどう動かすかに尽きます。 まず「毎瞬、同じ割合で減る」という指数カーブを数式にすると、音量 $V$ は時定数 $\tau$（タウ、減衰の速さを決める秒数）を使って $$V(t) = V_0 e^{-t/\tau}$$ と書けます。「残っている量に比例して減る」（$dV/dt = -V/\tau$）という関係の解が、ちょうどこの形になります。そしてこれをプログラムに落とすときは、指数関数を毎回計算する必要はありません。「目標値との差を、毎サンプル一定の割合だけ詰める」という1行が、そのまま指数カーブになります。 /* 教科書式のエンベロープ処理（C風の擬似コード） */ for (n = 0; n < length; n++) { env += (target - env) * coef; /* 目標へ指数カーブで近づく */ output[n] = env * sin(2.0 * M_PI * f0 * n / fs); /* 波形に掛けるだけ */ } 面白いのは、A・D・S・R の4局面がぜんぶこの同じ1行で回ることです。鍵盤が押されたら target = 1.0（アタック）、最大に達したら target = サステイン値（ディケイ）、離されたら target = 0.0（リリース）。切り替えるのは目標値だけで、カーブの計算は一切変わりません。近づく速さは coef が受け持ち、時定数 $\tau$ とサンプリング周波数 $f_s$ から $\text{coef} = 1 - e^{-1/(f_s \tau)}$ と決めます（小さいほどゆっくり）。なお、立ち上がりだけは直線にする実装もよくあります。アタックは時間が短く、カーブの違いが耳ではほとんど分からないからです。 ...

Webサービスの裏側でサーバーを複数並べるとき、いちばんよく見かけるのは、全サーバーに同じ内容を複製しておき、負荷分散装置（ロードバランサ）がアクセスを適当に振り分ける構成です。どのサーバーも同じものを持っているので、誰が受けても答えられる。データ全体が1台に収まるうちは、これが単純で強いやり方です。 ところが、1台に収まらなくなると話が変わります。分かりやすいのがキャッシュです。毎回データベースに問い合わせると遅いので、一度取り出した答えを高速なサーバーのメモリに覚えさせておく仕組みですが、メモリの量には限りがあります。同じ内容を複製する方式では、サーバーを何台並べても覚えられる量は1台分のまま。量を増やすには、複製ではなく分けて持つしかありません。3台に分ければ容量は3倍——その代わり、複製のときには存在しなかった問題が生まれます。 それが担当決めです。データには user:1001 のような名前（キー）が付いています。あるキーを保存するとき、そして後で読みに来たとき、どちらも同じサーバーに行き着かなければ意味がありません。全キーの置き場所を台帳に記録するやり方は、キーが何億もあると台帳自体が重荷になるので、できればキーを見ただけで担当が計算で決まる決め方が欲しい。 自然に思いつくのは、ハッシュ関数を使う方法です。ハッシュ関数というのは、どんなデータからでも決まった範囲の数値をひとつ作る計算のことで、同じ入力からは必ず同じ数値が出ます。念のため付け加えると、これは「違う入力なら必ず違う数値になる」という意味ではありません。別々のキーが偶然同じハッシュ値を引き当てる「衝突」はあり得ます。ただ今回の用途では、たまたま同じ数値になったキーたちが同じサーバーに置かれるだけなので、衝突があっても仕組みは壊れません。キーのハッシュ値をサーバー台数 n で割った余りを担当番号にすれば、どのキーの置き場所も計算だけで定まる。台帳いらず、計算一発、しかもキーはほぼ均等にばらけます。実際、これで気持ちよく分散できます——台数が変わらないうちは。 1台増やしただけで、ほぼ全部が引っ越す アクセスが増えてきたので、サーバーを3台から4台にしたとしましょう。担当の決め方は「% 3」から「% 4」に変わります。すると何が起きるか。 同じキー、同じハッシュ値なのに、割る数が変わっただけで余りの答えはほぼ全部変わります。上の例では10個中9個。データは1バイトも変わっていないのに、置き場所だけがそっくり入れ替わってしまうのです。 これはキャッシュにとって致命傷になりえます。置き場所が変わるということは、読みに行った先のサーバーがそのデータを持っていないということ。つまり増設した瞬間、ほぼ全アクセスがキャッシュミスになり、問い合わせが後ろのデータベースへ一斉に流れ込みます。負荷を下げたくてサーバーを足したのに、足した瞬間にいちばん重い負荷がかかる。本末転倒です。データ本体を分けて持つ分散ストレージなら、今度は実データの大移動が走ります。 冷静に考えると、動く必要があるのは全体のおよそ4分の1だけのはずです。新しい1台が受け持つぶんを渡せば、残りの4分の3は今の場所のままでいい。この「新入りに渡すぶんだけ動かして、あとは触らない」を台帳なしでやってのけるのが、今回の主役コンシステント・ハッシュ法です。 担当を「計算式」ではなく「場所」で決める 余り方式の弱点は、担当の決め方そのものの中に台数 n が入っていることです。式に n が入っているから、n が変わるたびに全キーの答えが変わる。そこで発想を変えて、担当の決め方から n を追い出します。 ハッシュ値の範囲（0〜最大値）を、端と端がつながった一周の円盤だと思うことにします。キーは、そのハッシュ値の場所にポツンと置く。そしてここがミソなのですが、サーバーも「サーバー名のハッシュ値」の場所に立てて、キーと同じ円盤に載せてしまうのです。そのうえで、キーの担当はこう決めます——その場所から時計回りに歩いて、最初に出会うサーバー。 決め方はこれだけです。円環の端（0）をまたいでも、そのまま一周続けて歩きます。結果として、各サーバーは「自分の手前の区間」をまるごと受け持つ形になります（図の外側の帯）。 ここで、何を・どんな関数でハッシュするのかも押さえておきます。入力はデータの中身ではなく名前（キー）です。user:1001 というキー文字列、URL、ファイル名——読みに行く時点ではまだ中身を手にしていないのだから、名前から場所が計算できなければ意味がありません。サーバー側も「10.0.0.5:6379」のような名前をハッシュして立てます。関数のほうは、速くて出力がまんべんなくばらけるものなら何でもよく、暗号としての強度は要りません。実際、memcached 向けの ketama は MD5 を、Cassandra は MurmurHash3 という高速ハッシュを使っています（MD5 は偽造への耐性という意味では破られた古い関数ですが、キーをばらまくだけの用途なら今も現役です）。この記事のビジュアライザも FNV-1a という軽量ハッシュで動いています。 この決め方のどこにも「台数 n」が出てこないことに注目してください。キーの位置はキーのハッシュ値だけで、サーバーの位置もサーバー名のハッシュ値だけで決まっていて、ほかのサーバーが何台いようが一切関係ありません。台数が式から消えたことが、次の一手で効いてきます。 増やしても、動くのは「新入りの手前」だけ では、サーバーDを追加してみます。やることは、Dのハッシュ値の場所に新しい旗を立てるだけです。 変わるのは、Dの手前の区間だけです。この区間にいるキーは、これまで「時計回りで最初のサーバー」がCだったのが、手前にDが割り込んだのでDに変わる。それ以外の場所では、時計回りに歩いて最初に出会うサーバーが以前と同じなので、担当も同じままです。キーもサーバーも誰ひとり場所を動いていない。新しい旗が1本立って、境界がひとつ増えただけなのです。 引っ越すのは新入りが受け持つ区間ぶん、つまり全体のおよそ n 分の 1。さきほど「理想はこれ」と言った形が、そのまま実現しています。サーバーの削除は逆再生で、旗が1本抜けると、その区間を時計回りの次のサーバーが丸ごと引き取ります。故障でサーバーが落ちたときも、その分担が自動的に隣へ流れるだけで、ほかのキーは無傷。サーバーの顔ぶれが変わる前提のシステムと、とことん相性がいい決め方です。 偏りは「分身」でならす ── 仮想ノード ただし、これで万事解決とはいかないのが現実の面白いところです。旗の立ちどころはハッシュ任せなので、運が悪いと偏ります。 3台がたまたま円環の近い場所に立ってしまうと、1台だけが円盤の大半を受け持つことになります。余り方式なら保証されていた「ほぼ均等」が、場所方式では崩れることがあるわけです。 そこで使われるのが仮想ノードという工夫です。サーバーAを円環上の1点ではなく、「A-1」「A-2」…と名前を変えてハッシュした複数の点——いわば分身——として撒きます。分身が増えるほど担当は細切れに混ざり合い、合計の持ち分はならされていきます。実際のシステムでは1台あたり数十〜数百個の分身を置くのがふつうです。分身にはもうひとつ利点があって、サーバーを追加したときの引っ越し元が特定の1台に集中せず、全員から少しずつ分けてもらう形になります。増減時の引っ越しが約 n 分の 1 で済む性質は、そのまま変わりません。 触って確かめる ── ビジュアライザ ここまでの話を、実際にサーバーを増減させながら確かめられるビジュアライザを用意しました。60個のキー（●）は最初から最後まで同じもので、方式を切り替えると同じキーたちの担当がどう決まるかが変わります。「＋ サーバー追加」を押すと、直前の操作で引っ越したキーが赤い縁で残るので、余り方式でほぼ全部が赤くなるのと、円環方式で一部の区間だけが赤くなるのを見比べてみてください。手元で試したところ、3台から4台への増設で引っ越したキーは、余り方式が60個中47個（78%）、円環方式は12個（20%）でした。下の比較表には「いまの構成に1台足したら何個動くか」が3方式並ぶので、数字でも確認できます。円環方式で「各サーバーの担当キー数」が偏っていくのを見つけたら、仮想ノードに切り替えてみてください。 うまく表示されないときは、ビジュアライザを別タブで開く 。 ...