解析

はじめに 前回の記事では、RCローパスフィルタの伝達関数を計算し、ステップ応答を調べるところまでを行なった。今回はその続きとして、RCローパスフィルタの伝達関数を使って周波数応答（周波数振幅特性と周波数位相特性）を調べてみよう。 Pythonで伝達関数などを扱うにあたっては、こちらの書籍を大いに参考させてもらった。計算が複雑になりがちな制御工学の伝達関数なども、Pythonでらくらくシミュレーションできるようになるのでおすすめだ。 ステップ応答やインパルス応答などの過渡応答特性は時間関数f(t)の形であるが、周波数特性の場合は、$s$の代わりに$jω$となる。jは虚数（$j^2 = -1$）であり、ωは角周波数である$ω=2πf$。 実は伝達関数$G(s)$の代わりに$G(jω)$とすることで周波数振幅特性を調べることができる。また、$arg(G(jω))$とすることで周波数位相特性を調べることができる。 周波数振幅特性とは、さまざまな周波数の正弦波をシステムへ入力にした時、どの程度の振幅で出力されるか調べたもの である。たとえばシステムが単純なローパスフィルタなら、高周波になるほど出力は小さくるだろう。 また、 周波数位相特性とは、さまざまな周波数の正弦波をシステムへ入力にした時、どの程度の入力の位相とずれているかを調べたもの である。 これらのことが$G(jω)$や$arg(G(jω))$で調べられるわけだが、なぜ$s=jω$とするのかの理由はフーリエ変換やオイラーの公式を使って説明されるため非常に難しので本記事では省略する。しかし、 理屈を知らなくても伝達関数さえ分かっていれば簡単に周波数特性を調べられるので、本記事ではとにかく実践を大事に周波数応答の実験をしてみたいと思う。 具体的にはPythonでプログラミングして周波数特性をグラフ化していく。 周波数応答 さて、RCローパスフィルタの伝達関数は次の通りであった。 $$G(s)=\frac{1}{1+RCs}$$ よって、周波数振幅特性を調べるためには $$G(jω)=\frac{1}{1+jωRC}$$ とすれば良いことになる。 また、周波数位相特性を調べるためには$arg(G(jω))$であった。argとは複素数平面上での偏角のことである。 さて、$ω=2πf$であるので調べたい周波数$f$を変えて計算すれば良いわけだが、周波数は膨大にあるため手動で計算するのはほぼ不可能だ。そこでPythonを使って周波数応答をグラフ化していく。 次のプログラムは抵抗R=1kΩ、コンデンサの容量を1μF、入力のサイン波の電圧を1としたときの周波数応答をグラフ化させるプログラムである。 from control.matlab import * import matplotlib.pyplot as plt if __name__ == '__main__': R = 1 * pow(10, 3) # 1kΩ C = 1 * pow(10, -6) # 1μF K = 1 # ゲイン T = R * C # 時定数 G = tf([0, K], [T, 1]) # 伝達関数 W = logspace(1, 5) # 対数スケールの配列 gain, phase, w = bode(G, W, Hz=True) plt.show() このプログラムを実行すると、図のように周波数振幅特性（上）と周波数位相特性（下）が表示される。システムはローパスフィルタなので、周波数が高くなるにつれてゲインが下っていく。また、周波数が高くなるにつれて入力との位相ズレが出力にあらわれていく。 プログラムの説明 ここで、先ほどのプログラムをもう少し詳しく解説する。 ...

はじめに インパルス応答は身近なところで日常的に使っている。電車のレールや機械をハンマーで叩いて音の反響を聞き取る打音検査、これはインパルス応答で異常がないか調べているわけだ。そしてこのインパルス応答をラプラス変換したものが伝達関数である。この記事ではそんな伝達関数とインパルス応答について詳しく解説していく。 伝達関数とは 伝達関数とは、複素数領域sにおいてシステムに(X(s))を入力したときの出力(Y(s))との比である。つまり、伝達関数を(G(s))とすれば次の式で表される。 $$G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$$ 具体的にRCローパスフィルタ回路の伝達関数をラプラス変換を使って導き出してみよう。 RCローパスフィルタの伝達関数 時間領域tにおいては、回路図より次の式が成り立つ。 $$v_{in}(t)=Ri(i)+v_{out}(t),~~~i(t)=C\frac{dv_{out}(t)}{dt}$$ よって $$v_{in}(t)=RC\frac{dv_{out}(t)}{dt}+V{out(t)}$$ である。これをラプラス変換して複素数領域sへ書き換えると $$V_{in}(s)=RC(sV_{out} - v_{out}(0)) + V_{out}(s)$$ (t=0) のとき (v_{out}=0) とすれば、 $$V_{in}(s)=RCsV_{out} + V_{out}(s)$$ よって、RCローパスフィルタの伝達関数 (G(s)) は $$G(s)=\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}=\frac{1}{1+RCs}$$ である。 ここで(V_{in}=1)となる入力を与えたときの過渡応答が伝達関数(G(s))である。複素数領域sで1となる関数はインパルス関数 (δ(t)) である。つまりインパルス応答をラプラス変換したものが伝達関数である。 $$G(s)=\mathcal{L}[δ(t)]$$ インパルス関数とは インパルス関数とは、時間幅が無限小で高さが無限大のパルス信号である。またすべての時間領域において、積分値が1となる。数学ではディラックのデルタ関数、制御工学ではインパルス関数と呼ばれる。 $$δ(t)=\begin{cases}\infty~(t=0)\0~~~(t\neq0)\end{cases}$$ 実は、インパルス関数はさまざまな周波数の余弦波を足し合わせることによって作り出すことができる。つまり、すべての周波数成分を含んだ信号と考えることができるのだ。 Pythonでインパルス関数を作ってみよう！ 図の左側が、1Hzkから11Hzまでの余弦波を1Hz間隔で足し合わせたものである。右側が1Hzkから10001Hzまでの余弦波を1Hz間隔で足し合わせたもである。 import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np fig, ax = plt.subplots() ax.grid(ls=':') if __name__ == '__main__': F1 = np.arange(1, 11, 1) F2 = np.arange(1, 10001, 1) T = np.arange(-1, 1, 0.001) Y1 = [0]*len(T) Y2 = [0]*len(T) for f in F1: for i in range(len(T)): Y1[i] += np.cos(2 * np.pi * f * T[i]) for f in F2: for i in range(len(T)): Y2[i] += np.cos(2 * np.pi * f * T[i]) plt.plot(T, Y1, label='{} times'.format(len(F1))) #plt.plot(T, Y2, label='{} times'.format(len(F2))) plt.legend() plt.show() ...

はじめに この記事では、ステップ入力によるRCローパスフィルタの過渡応答を計算していく。 上の回路図のように抵抗Rと静電容量Cのコンデンサでローパスフィルタを組む。そしてこの回路に(Eu(t))のステップ電圧を入力した時の出力電圧の様子を調べていく。 ステップ入力によるRCローパスフィルタの過渡応答 ステップ電圧は、(t \geqq 0)で電圧が(E)ボルトとなるような信号のことである。ちょうど(t=0)で、電圧のスイッチをオンにしたと思ってもらえれば良い。 また、出力電圧はコンデンサの両端の電圧(V_c)である。 ここで電圧(V_c)は $$V_c(t)=\frac{q(t)}{C} \tag{1}$$ である。 また、out端子につながる機材はハイインピーダンスであると考えて、電流はoutへほとんど流れないものとする。するとコンデンサに蓄えられる電気量の変化量が回路へ流れる電流と考えることができるので $$\frac{dq(t)}{dt}=I(t) \tag{2}$$ である。よって、 $$q(t)=\int I(t)dt \tag{3}$$ となる。 式3を式1へ代入すると $$V_c(t)=\frac{1}{C}\int I(t)dt \tag{4}$$ が導き出される。 さて、ラプラス変換により電流(I(t))は次の通り導き出される。 $$I(t)=\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{CR}t} \tag{5}$$ 式5を式4に代入すると $$V_c(t)=\frac{1}{C}\int \frac{E}{R}e^{-\frac{1}{CR}t} dt \tag{6}$$ である。 Tip 指数関数の積分は次の通り（ただしDは積分定数）。 $$\int e^{kx}dx = \frac{1}{k}e^{kx}+D \tag{7}$$ 式7より式6は、 $$V_c(t)=\frac{E}{CR}(\frac{1}{-\frac{1}{CR}}e^{-\frac{1}{CR}t} + D) \tag{8}$$ $$V_c(t)=-Ee^{-\frac{1}{CR}t}+\frac{E}{CR}D \tag{9}$$ となる。 (\frac{E}{CR}D)は定数なのでまとめてDと置き換えてしまう。すると式9は、 $$V_c(t)=-Ee^{-\frac{1}{CR}t}+D \tag{10}$$ となる。 ここでDについて考えてみよう。(t=0)の時、コンデンサの電圧は0Vであるから $$V_c(0)＝-Ee^{-\frac{1}{CR}0}+D=0 \tag{11}$$ である。よって、 $$D=E \tag{12}$$ である。 式12を式10へ代入すれば $$V_c(t)=-Ee^{-\frac{1}{CR}t}+E \tag{13}$$ となり、 $$V_c(t)=E(1 - e^{-\frac{1}{CR}t}) \tag{14}$$ となる。これがRCローパスフィルタにステップ入力したときの過渡応答である。 プログラミングでシミュレーション せっかくなので式14をPythonでプログラミングしてプロットしてみよう。前回と同様に、Eを5V、Rを1kΩ、Cを1μFとしてシミュレーションしてみた。 ...

はじめに この記事では、ラプラス変換の理屈は分からなくてもラプラス変換をとにかく使ってみようというテーマでお届けする。 電子回路に慣れ親しんでいる方なら、オペアンプの中身や仕組みが分からなくてもオペアンプを使うことはできるだろう。ラプラス変換も一緒で、 ラプラス変換そのものの理屈は分からなくても、ラプラス変換を扱うことは高校生レベルの数学で可能なので安心を！ ラプラス変換といえば制御工学で学ぶと思うが、教科書ではラプラス変換の仕組みから説明が入り、実際ラプラス変換のご利益に触れないまま工学分野を嫌いになってしまう方も多いのではないだろうか？実は私もその一人だ。 しかし、ラプラス変換を実際に使ってみるとこれが非常に面白い。いままで諦めていた微分方程式などもすらすら解けるようになるのだ。だからラプラス変換を知らないのは非常にもったいない。もう一度言おう。 ラプラス変換することは高校生レベルの数学を学んでいれば誰でもできる。 そこでこの記事では、ラプラス変換の難しい説明をできるだけ省き、とにかく手を動かしてラプラス変換を使ってその利便性に触れることを目的として進めていく。 ラプラス変換とは ラプラス変換をとにかく使ってみよう！ とはいえ、使う上で大体のイメージは必要である。 ラプラス変換とは、時間領域tの関数を複素数領域sへと置き換えて、微分・積分などの演算を簡単にするための手法である。 さっそく、複素数領域だとかなんのこっちゃ分からないかもしれないが、 大事なのは、微積分の面倒な計算を足し算に置き換えてくれる超便利なツールであるということ。 複素数が分からなくてもラプラス変換は使えるので安心してもらって良い。 実は、電気回路や制御工学などでは解に微分・積分が多く含まれてしまうため、ラプラス変換することで足し算・割り算レベルの簡単な数式に置き換えられるメリットがあるのだ。 しかも、ラプラス変換はすでに用意されている変換表と照らし合わせて変換すれば良いだけなので何も難しいことはない。 作業手順としては次のような流れになる。 時間関数 $f(t)$ を組み立てる ラプラス変換する s領域で計算する 逆ラプラス変換して再び時間領域tへ戻す ラプラス変換された関数は複素数領域の関数であるため、そのままでは現実世界に適応できない。そこで、再び時間領域へ戻すために逆ラプラス変換が必要である。しかしこの逆ラプラス変換というのも、変換表通りやれば高校生レベルでできる話なので安心して良い。 それでは、ラプラス変換対応表を見ていくことにしよう。 ラプラス変換対応表 下の表が、ラプラス変換対応表である。時間領域tの関数を複素数領域sへ置き換えることがラプラス変換である。sがなんのこっちゃ分からなくても、とにかく時間tをsの関数に置き換えるにはこの表に当てはめて変換すれば良い。 この表を使えば、複素数領域sから時間領域tへ置き換えること（逆ラプラス変換）も簡単にできる。 $$f(t)$$ $$F(s)$$ 説明 $$δ(t)$$ $$1$$ 単位インパルス関数 $$δ(t)=\begin{cases}\infty~(t=0)\0~~~(t\neq0)\end{cases}$$ $$u(t)$$ $$\frac{1}{s}$$ 単位ステップ関数 $$u(t)=\begin{cases} 0~(t \lt 0) \ 1~(t \geqq 0) \end{cases}$$ $$e^{-at}$$ $$\frac{1}{s+a}$$ 指数関数 $$sin(ωt)$$ $$\frac{ω}{s^2+ω^2}$$ 三角関数（正弦） $$cos(ωt)$$ $$\frac{s}{s^2+ω^2}$$ 三角関数（余弦） $$f’(x)$$ $$sF(s)-f(0)$$ 微分 $$f’’(x)$$ $$s^2F(s)-sf(0)-f’(0)$$ 二階微分 $$\int_0^tf(τ)dτ$$ $$\frac{1}{s}F(s)$$ 積分 この記事では、上記の表の単位ステップ関数 指数関数 積分だけを使うので、今これらの全部の変換を覚える必要はない。 ...

はじめに デジタル信号におけるRCハイパスフィルタは次の式となる。 $$y_i=ay_{i-1}+a(x_i-x_{i-1}) \tag{1}$$ なぜこの式がRCハイパスフィルタになるのか、ここで詳しく解説してみたいと思う。 基本的にローパスフィルタの記事で説明した方法と同じやり方でハイパスフィルタは導き出すことができる。 アナログ回路のRCハイパスフィルタ 電圧を分かりやすくするために最初の回路図を少し変形させた。 回路図より、 $$E_R(t)=I(t)R \tag{1}$$ である。 また、 $$q(t)=CE_C=C(E(t)-E_R(t)) \tag{2}$$ $$I(t)=\frac{dq(t)}{dt} \tag{3}$$ なので、式1は $$E_R(t)=\frac{dq(t)}{dt}R=C(\frac{dE(t)}{dt}-\frac{dE_R(t)}{dt})R\tag{4}$$ となる。よって出力電圧(E_R(t))は次式で導き出される。 $$E_R(t)=RC(\frac{dE(t)}{dt}-\frac{dE_R(t)}{dt})\tag{5}$$ 電圧をデジタルデータで考える ここで、電圧をサンプリングデータに置き換える。(E(t))を(x_i)とし、(E_R(t))を(y_i)とすると、式5は次のようになる。ただし、(ΔT)はサンプリング周期である。 $$y_i=RC(\frac{x_i-x_{i-1}}{ΔT}-\frac{y_i-y_{i-1}}{ΔT}) \tag{6}$$ さて、式6を(y_i)について解くと、 $$y_i=\frac{RC}{RC+ΔT}y_{i-1}+\frac{RC}{RC+ΔT}(x_i-x_{i-1})\tag{7}$$ となる。 ここで(a=\frac{RC}{RC+ΔT})に置き換えると、 $$y_i=ay_{i-1}+a(x_i-x_{i-1}) \tag{8}$$ となり、RCハイパスフィルタのデジタルフィルタ計算式が導き出された。 カットオフ周波数 最後にカットオフ周波数と(a)の関係を導き出してみよう。 係数(a)は、 $$a=\frac{RC}{RC+ΔT}\tag{9}$$ であった。 また、RC回路におけるカットオフ周波数(f_c)は次式で求められる。 $$f_c=\frac{1}{2πRC}\tag{10}$$ これを展開すると、 $$RC=\frac{1}{2πf_c}\tag{11}$$ となる。式11を式9へ代入して係数(a)について展開すれば、 $$a=\frac{1}{2πΔTf_c+1} \tag{12}$$ の関係となる。

はじめに デジタル信号におけるRCローパスフィルタは次の式となる。 $$y_i=ax_i+(1-a)y_{i-1} \tag{1}$$ なぜこの式がRCローパスフィルタになるのか、ここで詳しく解説してみたいと思う。 アナログ回路のRCローパスフィルタ 話を分かりやすくするために、最初の回路図を少し変形させてみよう。 信号源を(E(t))とし、時間(t)によって信号の電圧は変化する。 抵抗(R)に流れる電流は(I(t))なので、抵抗の両端にかかる電圧は(RI(t))である。また、コンデンサの電圧は(Ec(t))とすると、(Ec(t)=\frac{q(t)}{C})が成り立つ。 よって、キルヒホッフの法則より、 $$E(t)=RI(t)+\frac{q(t)}{C} \tag{2}$$ となる。 また、ある時間における電流(I(t))はコンデンサの電気量(q)の変化量であるから $$I(t)=\frac{dq(t)}{dt} \tag{3}$$ で表せる。 ここでポイントなのは、図のOUT端子（抵抗とコンデンサの間）へ接続される負荷はハイインピーダンスであるため、出力端子へほとんど電流が流れていかないものとしている。 式3を式2へ代入すると、 $$E(t)=R\frac{dq(t)}{dt}+\frac{q(t)}{C}\tag{4}$$ となる。 コンデンサの電圧は(CE_c(t)=q(t))なので $$E_c(t)=\frac{q(t)}{C}\tag{5}$$ である。式5を式4へ代入すると、 $$RC\frac{dE_c(t)}{dt}+E_c(t)=E(t)\tag{6}$$ である。 電圧をデジタルデータで考える ここで、電圧をデジタルのサンプリングデータとして考えると(x_i=E(t))、(y_i=E_c(t))で置き換えることができる。 よって、式6は次のようになる。ただし(ΔT)はサンプリング周期である。 $$RC\frac{y_i-y_{i-1}}{ΔT}+y_i=x_i\tag{7}$$ これを(y_i)について解くと、 $$y_i=\frac{ΔT}{RC+ΔT}x_i+\frac{RC}{RC+ΔT}y_{i-1}\tag{8}$$ となる。 また、 $$\frac{RC}{RC+ΔT}=\frac{ΔT-ΔT+RC}{RC+ΔT}=\frac{RC+ΔT}{RC+ΔT}-\frac{ΔT}{RC+ΔT}$$ なので、ここで(a=\frac{ΔT}{RC+ΔT})とおけば、式8は $$y_i=ax_i+(1-a)y_{i-1}\tag{9}$$ となり、デジタル信号におけるRCローパスフィルタが導き出された。 カットオフ周波数 最後にカットオフ周波数と(a)の関係を導き出してみよう。 係数(a)は、 $$a=\frac{ΔT}{RC+ΔT}\tag{10}$$ であった。 また、RC回路におけるカットオフ周波数(f_c)は次式で求められる。 $$f_c=\frac{1}{2πRC}\tag{11}$$ これを展開すると、 $$RC=\frac{1}{2πf_c}\tag{12}$$ となる。式12を式10へ代入して計算すれば、 $$a=\frac{2πΔTf_c}{2πΔTf_c+1}\tag{13}$$ の関係が導き出される。